A11. Solution numérique de haute précision des équations de transport du type diffusif et advectif-diffusif dans des domaines complexes par l'utilisation de techniques de décomposition du domaine sur des ordinateurs parallèles

Mr. C. BENOCCI

D'importantes améliorations ont été apportées au cours des dix dernières années dans l'utilisation des méthodes spectrales pour résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles dans le cas de géométries complexes. Les méthodes par décomposition de domaines, sont, à l'opposé des méthodes à domaine unique, particulièrement bien adaptées à la résolution de problèmes de dynamique des fluides tels que l'écoulement autour d'obstacles non-profilés. C'est dans ce contexte que ce travail traite de développement d'un algorithme spectral multi-domaines permettant la résolution des équations de Navier-Stokes en régime incompressible. Nous croyons que cette approche permet, non seulement de conserver la précision associée aux méthodes spectrales appliquées à des géométries complexes, mais également de réduire de manière drastique les coûts de calcul. Cette réduction peut être obtenue de deux manières complémentaires. D'une part, une découpe judicieuse du domaine de calcul permet d'affiner au mieux la précision dans les zones où la frontière ou la solution manquent de régularité et d'avoir recours à la "convergence spectrale" dans les régions aux caractéristiques plus régulières, où moins de noeuds sont utilisés. D'autre part, le développement d'un algorithme multi-domaines est particulièrement adapté aux architectures de calculateurs à mémoire distribuée.

Les équations de Navier-Stokes, permettant la modélisation de l'écoulement instationnaire et incompressible d'un fluide visqueux, peuvent être discrétisées par rapport au temps de diverses manières. Un schéma continu de correction de pression a été utilisé dans ce travail. Cette méthode conduit à différents "blocs" linéaires ou linéarisés devant être résolus à chaque pas temporel. De manière plus précise, si la contribution convective est traitée d'une façon explicite, on ne devra résoudre que des problèmes de type Helmholtz tandis qu'un traitement implicite du pas prédicteur linéarisé mène à un système d'équations scalaires de convection-diffusion et à une équation de Poisson pour la pression. De manière à augmenter l'efficacité des procédures itératives utilisées dans chaque bloc, il est important de concevoir les préconditionneurs les mieux adaptés. Une série d'outils performants à été conçue à cet effet au moyen de préconditionneurs basés sur des méthodes de discrétisation d'ordre inférieur. De plus, un nouveau préconditionneur pour des problèmes de convection-diffusion est proposé. Toutes les méthodes développées ont été validées de manière exhaustive par des comparaisons directes avec des cas-test de référence.

Prof. M. DEVILLE

Cette recherche se donne comme ambition de montrer que la simulation numérique des écoulements de fluides instationnaires et incompressibles, décrits par les équations tridimensionnelles de Navier-Stokes, peut être traitée de manière efficace par un programme de calcul basé sur une discrétisation spatiale de type spectral. Cette efficacité repose largement sur de nombreuses améliorations apportées dans le domaine des méthodes spectrales ces dix dernières années tant au niveau de la théorie que des algorithmes et des coûts de calcul. Par conséquent, le champ d'applications des méthodes spectrales ne se limite plus aux géométries simples, mais s'étend aux situations complexes. En particulier, la méthode des éléments spectraux est devenue très populaire parce qu'elle combine les avantages de la méthode des éléments finis avec la "capacité spectrale" de réduire le nombre de degrés de liberté pour atteindre une précision fixée. En outre, elle incorpore naturellement l'idée de décomposition en sous-domaines, notion intimement liée au parallélisme et donc à la réduction des coûts de calcul. Ceci est la clé pour une implémentation efficace sur les ordinateurs les plus puissants de notre époque constitués presque sans exception de processeurs parallèles à mémoire répartie.

Les équations continues de Navier-Stokes décrivent l'évolution de la vitesse et de la pression d'un écoulement de fluide dans un domaine matériel; la méthode des éléments spectraux les réduit à un ensemble d'équations discrètes. Cette technique de discrétisation est fiable et bien établie, et constitue le point de départ de ce travail. Cependant, le développement d'algorithmes rapides pour la résolution du système discret est un défi majeur. A cette fin, on étudiera le découplage des composantes de vitesse et de pression en comparant des algorithmes existants et originaux. Les méthodes itératives se sont avérées très appropriées afin de mener à bien la résolution des systèmes discrets découplés. Toutefois, des techniques adéquates de préconditionnement ont été développées afin d'assurer un taux de convergence acceptable des méthodes itératives. Pour ce faire, un nombre de préconditionneurs des opérateurs de vitesse et de pression ont été proposés et validés. Ces techniques ont toutes en commun des solutions rapides et locales à un élément et une stratégie de traitement d'interfaces.

Un autre sujet important abordé dans ce travail est la discrétisation temporelle des équations instationnaires. La manière classique est de choisir un schéma implicite pour les termes linéaires et un schéma explicite pour les termes convectifs. La mise au point de telles méthodes qui doivent être à la fois stables et d'une précision d'ordre élevé n'est pas évidente. En fait, les concepts de stabilité et de précision sont liés: plus le schéma temporel est stable, plus le pas de temps admissible est grand. Du point de vue de la rapidité de calcul, il est souhaitable que l'évolution dans le temps se fasse avec un pas maximal. Un niveau de précision acceptable est alors obtenu uniquement par une méthode d'ordre élevé.

Le développement d'un programme de calcul de haute performance demande non seulement des méthodes numériques parallélisables, mais aussi des algorithmes rapides qui impliquent une communication entre processeurs la plus réduite possible. L'implémentation parallèle est facilitée par l'utilisation de méthodes itératives, notamment en présence de préconditionneurs diagonaux par bloc. On montrera à travers l'analyse et l'optimisation des algorithmes de communication, que les plus performants sont souvent exclusifs pour certains types d'architecture de machine. Cette spécificité doit être mise en regard avec la perte de portabilité du programme de calcul.